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   DESARROLLO

Introducción a los números complejos  

Un Numero Complejo es una expresión del tipo

z = a + bi

Donde a y b son números reales e i es un símbolo, cuyo sindicado seria aclarado más

Adelante.

Este tipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación no tiene raíces reales.

Que significado se le puede dar a una raíz cuadrada de un numero negativo? >

Porque no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuación no tiene

Solución? La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas

Cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números, nos motiva a crear sistema

Numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales. Dentro
De este contexto se acepta el símbolo 
 Como una entidad matemática nueva.

Veamos a continuación como se construyen estos nuevos números.

Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotado por i, el

Cual sería llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición

 Una vez hecho esto construimos un conjunto C llamado Números Complejos

Cuyos elementos son combinaciones de la forma

Donde a y b son números reales.

Vemos entonces que todo número complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.

Así pues, tenemos Re(z) = a e Im(Z) = b

Mapeo complejo

Los Números Complejos constituyen una herramienta matemática muy poderosa

para interpretar los movimientos en el plano. En este capítulo estudiaremos los movimientos regidos del plano, es decir, aquellos que preservan las distancias entre los

puntos. Básicamente, daremos respuesta a las dos interrogantes ¿Porque es importante estudiar los movimientos del plano?  Que relación existe entre la geométrica

de las  geometrías estáticas del plano, y el movimiento? En primer lugar, en la Geometría

.. 

transformaciones o mapeos

 

Para representar la función compleja geométricamente se requerían 4 dimensiones dos para la variable

Independiente y dos para la dependiente (ya que un solo número complejo se representa en un plano). Como

no se puede representar un plano es 4 dimensiones sin crear una confusión fuerte se recurre a diversas técnicas

de representación pero una sencilla y muy usada es representar la variable dependiente en un plano (plano w = f(z)) y la variable independiente en otro plano (plano z).

TRASLACION

La transformación de traslación tiene la forma general

w = f(z) = z + c

donde z es la variable compleja y c es una constante compleja. Si substituimos que w = u + iv , z = x + iy

y c = h + ik tendremos

u + iv = x + iy + h + ik = x + h + i(y + k)

lo que tiene una forma parecida a la traslación de ejes en geometría analítica y de hecho si observamos con

atención notamos que lo que provoca esta transformación es solo mover los ejes h unidades en el eje real y

k unidades en el eje imaginario.

 

ROTACION

Recordando que una multiplicación de números complejos provoca una rotación y un cambio de magnitud

Dependiendo del módulo de los factores, podemos hacer una rotación de ejes de esta forma. Si deseamos hacer una rotación de ejes con un angula explıcito podemos recurrir a la forma polar del numero complejo, si tenemos w = ze_ en el plano w tendremos una rotación de los ejes de _ radianes en sentido contrario de las manecillas del reloj que respetara la magnitud, es decir, solo rotara los ejes.